Operaties met wortels. Breng aan als een virishuvati op de wortels. Nu sta ik er alleen voor

\(\sqrt(a)=b\), dus \(b^2=a\), de \(a≥0,b≥0\)

Van toepassing zijn:

\(\sqrt(49)=7\), omdat \(7^2=49\)
\(\sqrt(0,04)=0,2\),schalen \(0,2^2=0,04\)

Hoe neem je de vierkantswortel van een getal?

Om de vierkantswortel van het getal te vinden, moet je je eigen macht zetten: hoe moet het getal door de wortel aan het vierkant worden gegeven?

Bijvoorbeeld. Gebruik de wortel: a) (sqrt (2500)); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0.001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Wat is het getal van het te geven vierkant (2500)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Wat is het getal van het vierkant dat \(\frac(4)(9)\) oplevert?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Wat is het getal van het vierkant, geef (0,0001)?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

d) Wat is het kwadraat van het getal om \(\sqrt(1\frac(13)(36))\) te geven? Om een ​​oordeel over het aanbod te kunnen geven, is het noodzakelijk om het naar het verkeerde te vertalen.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Respect: Wil \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) ook overeenkomen met de voeding , maar bescherm ze niet, want de vierkantswortel is altijd positief.

Hoofdkracht van de wortel

Zoals je kunt zien, is het in de wiskunde zo'n diї є zvorotne. Bij de toevoeging - vіdnimannya, bij de meervoud - rozpodіl. Zvorotne diyu zvedennya vierkant - het forceren van de vierkantswortel. Dat moet een voor een compenseren:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Tse en є de kopkracht van de wortel, omdat deze meestal zegeviert (inclusief die in de ODE)

kont . (Hoofd van de ODE). Zoek de waarde van het virus \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Oplossing :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

kont . (Hoofd van de ODE). Zoek de waarde van het virus \((\sqrt(85)-1)^2\)

Oplossing:

Suggestie: \(86-2\sqrt(85)\)

Het is duidelijk dat wanneer je met een vierkantswortel werkt, het noodzakelijk is om andere dingen te overwinnen.

kont . (Hoofd van de ODE). Virasewaarde ophalen \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Oplossing:

Suggestie: \(220\)

4 regels om voor altijd te vergeten

De wortel begint niet te groeien

kont: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) enz. - Vityagti korіn z nummer niet zavzhd het is mogelijk en het is goed!

De wortel van het getal, hetzelfde getal

Het is niet verplicht om \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) in te voeren. Tse getallen, dat zijn geen getallen dus, maar niet iedereen in onze wereld leeft in getallen.

De wortel zweeft over onbekende getallen

Voeg daarom in uw assistenten dergelijke records \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\), etc. niet toe.

Het is tijd voor de roos manieren van rooten. De stank is gebaseerd op de kracht van wortels, zokrema, op gelijkwaardigheid, zoals het eerlijk is voor elk getal b.

Hieronder zullen we de belangrijkste manieren van rooten bekijken.

Laten we beginnen met het eenvoudigste punt - van de studie van de wortels van de natuurlijke getallen van de variaties van de tabellen van vierkanten, ook de tabellen van kubussen.

Zoals tafels van vierkanten, kubussen te dun. als je niet weet hoe je je handen moet gebruiken, is het logisch om de methode van het foerageren van de wortel te gebruiken, die je kunt gebruiken om het subwortelnummer op eenvoudige vermenigvuldigers te leggen.

Okremo varto zupinitsya op degenen die mogelijk zijn voor de wortel van ongepaarde displays.

Nareshti, laten we eens kijken naar een manier waarmee je achtereenvolgens de waarde van de wortel kunt shukaten.

Laten we beginnen.

Vicoristanna tafels van vierkanten, tafels van kubussen ook.

Op de eenvoudigste manier kunnen wortels worden verkregen door tabellen met vierkanten, alleen kubussen. Wat zijn de tabellen?

Tabel met vierkanten van gehele getallen van 0 tot en met 99 (hieronder weergegeven) en twee zones. De eerste zone van de tabel is gerangschikt op een grijze achtergrond, voor de extra keuze van een liedrij en een liedkolom, kunt u het aantal vermeldingen optellen van 0 tot 99. We kozen bijvoorbeeld een rij van 8 tienen en een rij van 3 enkelvouden, en legden het getal 83 vast. Een andere zone leent een deel van de tafel dat is weggelaten. De huid її komіrka bevindt zich op de pereline van de sing-rij en de sing-steek, en wreekt het kwadraat van het algemene getal van 0 tot 99. Op de rand van de door ons gekozen rij, 8 tienen en 3 enkelvouden, is er een midden met het nummer 6889, evenals het kwadraat van het nummer 83.

Tabellen met kubussen, tabellen met vierde stappen van getallen van 0 tot 99 zijn vergelijkbaar met tabellen met vierkanten, alleen in een andere zone zijn er kubussen, kwart stappen zijn dun. willekeurige nummers.

Tafels met vierkanten, kubussen, kwartstappen ook. kunt u vierkantswortels, kubieke wortels, wortels van de vierde graad, enz. dat blijkt uit de cijfers die ze in hun tabellen hebben. Laten we het principe van hun stosuvannya per uur van rooten uitleggen.

Stel dat we de wortel van het n-de niveau van het getal a moeten vinden, en het getal a wordt in de tabellen van het n-de niveau geplaatst. Volgens deze tabel is het getal b bekend zodat a = b n. Todi , Otzhe, het getal b is de wortel van de n-de stap.

Als een voorbeeld wordt het getoond, als een kubieke wortel uit 19683. We kennen het getal 19683 in de tabel met kubussen, we weten dat dit nummer de kubus is van het getal 27, .

Het was duidelijk dat de tabellen van n-hun stappen efficiënter zijn wanneer de wortels worden vergeten. Prote їх komt vaak niet op onder de handen, zoals folden voor het zanguurtje. Bovendien is het vaak nodig om de wortel van de getallen te nemen, om niet dezelfde tabellen te missen. In deze ervaringen zou men naar andere methoden moeten worden geleid om de wortel te extraheren.

Ontleding van het wortelgetal in eenvoudige vermenigvuldigers

Doseer op een handmatige manier, waardoor u de wortel uit een natuurlijk getal kunt extraheren (zoals het is, de wortel van het natuurlijke getal groeit) - de verdeling van het wortelgetal in eenvoudige vermenigvuldigers. Yogo de essentie van het veld is in het offensief: als je het doet is het gemakkelijk om belasting te betalen bij het zien van de stap met de nodige show, waarmee je de waarde van de wortel kunt nemen. Laten we het moment uitleggen.

Laat de wortel van de n-de graad trekken uit het natuurlijke getal a, de i-de waarde is één b. En hier is de gelijkheid a=b n correct. Het getal b, alsof het een natuurlijk getal is, kan worden weergegeven door te kijken naar de optelling van al zijn priemfactoren p 1 , p 2 , …, pm door te kijken naar p 1 2 · ... · pm) n . Het strooien van de getallen op de eenvoudige vermenigvuldigers is hetzelfde, dan ziet de spreiding van het wortelgetal a op de eenvoudige vermenigvuldigers er als volgt uit (p 1 ·p 2 ·...·pm) n , waarmee je de waarde van de wortel kunt berekenen jak.

Met respect, dat de e expansie op de priemfactoren van het wortelgetal a kan worden weergegeven als (p 1 ·p 2 ·…·pm) n, dan stijgt de wortel van de n-de stap van het e getal a over het algemeen niet.

Laten we eens kijken naar het tijdstip van de ceremonie van de aanvraag.

kont.

Neem de vierkantswortel van 144.

Oplossing.

Als je teruggaat naar de tabel met vierkanten in de voorste alinea, dan kun je duidelijk zien dat 144 \u003d 122, de sterren realiseerden zich dat de vierkantswortel van 144 goed is 12.

Ale, in het licht van dit punt, kakel ons, als de wortel voor de hulp van het leggen van het wortelgetal 144 in eenvoudige vermenigvuldigers. Laten we de weg van rozvyazannanya uitzoeken.

Rozkademo 144 eenvoudige vermenigvuldigers:

Tobto, 144 = 2 2 2 2 3 3 . Op basis van de verwijderde lay-out kunt u de volgende transformatie uitvoeren: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2. Otsje, .

Vykoristovuyuchi vermogensniveau en wortel, oplossing kan worden uitgegeven en trohi іnakshe:.

Suggestie:

Voor het fixeren van het materiaal kijken we naar de oplossing van nog twee toepassingen.

kont.

Bereken de waarde van de wortel.

Oplossing.

De lay-out van de eenvoudige vermenigvuldigers van het wortelgetal 243 kan er uitzien als 243 = 35. In deze volgorde, .

Suggestie:

kont.

Chi is de waarde van de wortel als geheel getal?

Oplossing.

Schob vodpovisti over de voedselketen, spreid het wortelgetal uit op eenvoudige vermenigvuldigers en verwonder je over wat je je kunt voorstellen in de derde macht van een geheel getal.

Maemo 285 768 = 2 3 3 6 7 2 . De lay-out van Otrimane lijkt geen kubus van een geheel getal, de stappen van een eenvoudige vermenigvuldiger 7 zijn geen veelvoud van drie. Ook stijgt de derdemachtswortel van het getal 285768 niet op nationaal niveau.

Suggestie:

nee.

Uitleg van wortels van fractionele getallen

Het uur is gekomen om te rijzen, aangezien de wortels uit het fractionele getal tevoorschijn komen. Laat het fractionele wortelgetal worden geschreven als p/q. Vidpovidno aan de kracht van de wortel is vaak gewoon beledigend jaloezie. Z ієї rivnostі vyplivaє wortelregel voor een breuk: de wortel van de opname is het meest waardevolle deel van de wortel van het getallenboek tot de wortel van de banner.

Laten we eens kijken naar de kolf van het smeden van de wortel vanaf het schot.

kont.

Waarom is de vierkantswortel van de grote breuk 25/169 waard?

Oplossing.

Volgens de tabel met vierkanten is het bekend dat de vierkantswortel uit het getallenboek van de laatste breuk 5 is en de vierkantswortel uit de banier 13 is. Todi . Op welke wortel van de grote breuk 25/169 is voltooid.

Suggestie:

De wortel van de tiende breuk van een gemengd getal wordt opgesteld na vervanging van de wortelgetallen door sterke breuken.

kont.

Laten we de derdemachtswortel nemen van de tiende breuk 474.552.

Oplossing.

Laten we een decimale breuk geven aan een boventallige breuk: 474,552 = 474552/1000. Todi . Het heeft zijn vitaliteit van kubieke wortels verloren, die te vinden zijn in het nummerboek en de banner van de cut-shot. dus jak 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000=10 3 dan і . Verloren om de berekening te voltooien .

Suggestie:

.

De wortel van een negatief getal omkeren

Okremo varto zupinitsya over de extractie van de wortel van negatieve getallen. Bij het rooten zeiden we dat als het teken van de wortel een ongepaard getal is, het onder het teken van de wortel een negatief getal kan zijn. Dergelijke records kregen een aanstootgevende betekenis: voor een negatief getal −a en een ongepaarde exponent van de wortel 2 n−1, hebben we . Tsya jaloezie geven de regel voor het vinden van de wortels van de ongepaarde graad van negatieve getallen: om de wortel uit een negatief getal te extraheren, is het noodzakelijk om de wortel uit het tegenovergestelde getal van een positief getal te extraheren en een minteken te plaatsen voordat het resultaat wordt genomen.

Laten we eens kijken naar de oplossing.

kont.

Zoek de betekenis van de wortel.

Oplossing.

Laten we de vihіdny viraz opnieuw maken, zodat onder het teken van de wortel een positief getal verscheen: . Nu wordt het getal vervangen door de grootste breuk: . Zastosovuєmo-regel voor de extractie van de wortel uit de grote fractie: . Het ging verloren om de wortel in het getallenboek en de banner van de genomen breuk te tellen: .

Laten we een korte notitie maken van de oplossing: .

Suggestie:

.

Bitsgewijze waarde van de waarde van de wortel

Het getal wordt bij de wortel onder de wortel veranderd, alsof met behulp van de ander de andere mensen worden opgenomen bij het zien van de n-de graad van dit getal. Ale, met wie het noodzakelijk is om de betekenis van de wortel te kennen, die nauwkeurig wil zijn tot het zingende teken. Op deze manier kunt u voor het verwijderen van de wortel het algoritme versnellen, waardoor u achtereenvolgens een voldoende aantal waarden van de rijen van een willekeurig getal kunt nemen.

In de eerste fase van dit algoritme is het noodzakelijk om te bepalen wat het meest significante cijfer van de wortelwaarde is. Voor welke is het nodig om achtereenvolgens de stappen n van het getal 0, 10, 100, ... op te tellen tot het moment waarop het getal wordt weggenomen, waardoor het sub-rootgetal verschuift. Hetzelfde nummer, zoals we werden geroepen voor stap n op het voorste podium, is dezelfde hogere rang.

Laten we bijvoorbeeld eens kijken naar het algoritme voor de eerste keer dat we de vierkantswortel van vijf leren. We nemen de getallen 0, 10, 100, ... en kwadrateren ze, trekken het getal dat we verplaatsen 5 af. 02 mei = 0<5 , 10 2 =100>5, later zal de hoogste rang de rang van singles zijn. De waarde van deze volgorde, evenals de jongere, zal worden gevonden in de komende stappen van het root-forceringsalgoritme.

Alle vorderingen met het algoritme kunnen gebaseerd zijn op de laatste verduidelijkte waarde van de wortel voor de berekening van wat de waarden van de komende rijen van de shukan-waarde van de wortel bekend zijn, te beginnen bij de oudste en zich uitstrekkend tot de jongste . De waarde van de wortel voor de eerste haak is bijvoorbeeld 2, de andere - 2,2, de derde - 2,23, dan 2.236067977 .... We zullen beschrijven hoe de betekenis van de lozingen wordt weergegeven.

Znakhodzhennya-ontladingen worden uitgevoerd met een extra opsomming van alle mogelijke waarden 0, 1, 2, ..., 9 . Voor wie, parallel, de n-de stappen van de tweede getallen worden geteld, en de stinken worden gerangschikt met het wortelnummer. Als op een bepaald moment de waarde van de stap is om het wortelgetal te wijzigen, dan is de waarde van de bestelling, die vergelijkbaar is met de voorwaartse waarde, belangrijk om te weten, en wordt de overgang uitgevoerd naar de volgende stap van het algoritme van de verbetering van de wortel, die niet wordt overwogen, dan is de waarde van deze bestelling waardig.

Het is begrijpelijk qi-momenten op hetzelfde voorbeeld van de studie van de vierkantswortel van vijf.

Op de achterkant kennen we de waarde van de singles. Herhaal de waarden 0, 1, 2, ..., 9 , som de waarden 0 2 , 1 2 , ..., 9 2 doti, stippen obsessief op, groter dan het wortelgetal 5 . Alle berekeningen moeten handmatig worden ingediend in de volgende tabellen:

Dus de waarde van een rij singles is duurder 2 (oskіlki 2 2<5 , а 2 3 >vijf). Laten we verder gaan met de betekenis van de orde van tien. Waarmee we de getallen 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 kwadrateren, rekening houdend met het aftrekken van de waarde met het wortelgetal 5:

Oskilki 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, dan is de waarde van de orde van tienden 2. U kunt naar de waarde van de orde van honderden gaan:

Dus dezelfde waarde van de wortel van vijf werd gevonden, het is gelijk aan 2,23. En zo kun je de betekenis blijven kennen: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Voor het fixeren van het materiaal zullen we het wortelextract tot op honderd nauwkeurig analyseren met behulp van het onderzochte algoritme.

Ik ga de senior rang ondertekenen. Voor wie worden de getallen 0, 10, 100 enzovoort teruggebracht tot een kubus. docks nemen het nummer om te wijzigen 2 151.186 . 03 mei =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 in deze rang, de hoogste rang is de rang van tientallen.

Aanzienlijk yoga betekenis.

Oskilki 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 , dan is de waarde in de orde van tientallen meer 1 . Laten we naar een gaan.

Otzhe, de waarde van de rij singles is duurder 2. Laten we naar tien gaan.

Oskіlki navit 12.9 3 minder voor het wortelnummer 2 151.186, dan is de waarde in de orde van tien duurder 9. De rest van het algoritme heeft zijn viconaat verloren, het geeft de waarde van de wortel met de nodige nauwkeurigheid.

In dit stadium werd de wortelwaarde tot op de dichtstbijzijnde honderdste gevonden: .

Aan het einde van dit artikel wil ik nog zeggen dat er geen andere manieren zijn om de uitgroei te verbeteren. Ale, voor het grootste deel, de zavdan is vrij rustig, alsof we groter waren geworden.

Lijst van literatuur.

• Makarichev Yu.M., Mindyuk NG, Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tutor voor 8 cellen. verlichting installaties.
• Kolmogorov AM, Abramov AM, Dudnitsin Yu.P. dat in Algebra en cob-analyse: klusjesman voor 10 - 11 klassen verlichtingsinstallaties.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een gids voor studenten aan technische hogescholen).

Wacht, katten! De vorige keer hebben we naar verluidt ontdekt wat de root is (als je het je niet herinnert, raad ik aan het te lezen). Het hoofd visnovok van die les: er is maar één universeel aangewezen wortel, zoals je moet weten. Reshta - onzin dat marnuvannya-uur.

We zijn vandaag gegaan. Vchimos vermenigvuldigt wortel, vivchimo deyaki-problemen, povyazanі z-vermenigvuldigingen (alsof het probleem niet virishit is, dan kan in de slaap de stank fataal worden) en als gevolg daarvan zullen we werken. Dus koop popcorn, wees slimmer - en we lossen het op.

Heb je Aja Vi nog niet gerookt?

Om de les van viishov great te voltooien, heb ik yoga in twee delen verdeeld:

1. Op de rug van onze hand zullen we de regels van vermenigvuldiging analyseren. Kep yak natyakaє: als er twee wortels zijn, staat er tussen hen een teken "vermenigvuldigen" - en we willen ze uitwerken.
2. Laten we dan de situatie analyseren: er is één grote wortel, en het was moeilijk voor ons om die te laten zien bij het zien van twee eenvoudigere wortels. Voor een soort perelaku is tse buvaє noodzakelijk - behalve voor voedsel. Laten we eens kijken naar het algoritme.

Tim, die niet kan wachten om naar het volgende deel te gaan, graag gedaan. Laten we het in orde maken.

Basisregel voor vermenigvuldiging

Laten we beginnen met de eenvoudigste - de klassieke vierkantswortel. Tі samі, yaki worden aangeduid met $\sqrt(a)$ en $\sqrt(b)$. Voor hen is alles duidelijk:

Regel van vermenigvuldiging. Om de ene vierkantswortel met de andere te vermenigvuldigen, hoef je alleen maar hun subwortels van de virazi te vermenigvuldigen en het resultaat onder de radicale radicaal te schrijven:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

De jaarlijkse aanvullende grenzen op de nummers die rechts- of linkshandig staan, overlappen elkaar niet: als wortelvermenigvuldigers worden gebruikt, dan th tvir tezh іsnuє.

van toepassing zijn. Laten we eens kijken naar de chotiri toegepast met getallen:

\[\begin(uitlijnen) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(uitlijnen)\]

Net als Bachite is de belangrijkste betekenis van de regel de vergeving van irrationele virussen. І zoals in de eerste kont, mi b i sam_ vityagli wortel z 25 i 4 zonder nieuwe nieuwe regels, laat dan de vacht beginnen: $ \ sqrt (32) $ і $ \ sqrt (2) їх tvіr verschijnt als een exact kwadraat, dat wil zeggen de wortel van het nieuwe rationale getal.

Okremo wil de resterende rij bi betekenen. Daar zijn beledigingen geworteld, virazi en fracties. Zavdyaks creëren snel veel vermenigvuldigers en de hele viraz verandert in een voldoende aantal.

Zvichayno, begin niet alles zal zo garno zijn. Soms, onder de wortels, staan ​​we tegelijkertijd rot - het is onredelijk dat je met haar werkt en hoe je de volgende vermenigvuldiging opnieuw kunt maken. Trohi later, als je je de irrationele gelijkheid en nervositeit herinnert, zullen er tekenen zijn van verandering in die functie. En nog vaker is het stapelen van de manager een lakraz en terugbetalen voor degenen die verschijnen als magazijnen, die snel zijn of multipliers, waarna het de taak van bagator is om afscheid te nemen.

Bovendien is het noodzakelijk om de twee wortels te vermenigvuldigen in een taal die niet nodig is. Je kunt één keer met drie vermenigvuldigen, chotiri - dat zelfs tien! De regel van de soort verandert niet. Kijk eens:

\[\begin(uitlijnen) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(uitlijnen)\]

Ik heb weer weinig respect voor een andere kont. Net als een bachiet heeft de derde vermenigvuldiger een tiende wortel aan de wortel - tijdens het proces berekenen we het door het te vervangen door de meest significante, omdat alles gemakkelijk in te korten is. Dus de as: ik raad ook aan om tientallen breuken in irrationele virazes te vermijden (om één radicale badge weg te nemen). In de toekomst, om u een paar uur en zenuwen te besparen.

Ale tse buv lyrische vіdstup. Laten we nu eens kijken naar de diepste wending - als het aantal $n$ in de show van de wortel staat, en niet alleen de "klassieke" twee.

Vipadok van een vrolijke show

Otzhe, met vierkantswortels, ze hebben het. En hoe zit het met het werken met kubieke exemplaren? Wat heb je aan de basis van een goede stap $n$? Maar allemaal hetzelfde. De regel wordt door onszelf overschreven:

Om twee wortels van de stap $n$ te vermenigvuldigen, volstaat het om de subwortels van de virazi te vermenigvuldigen, waarna het resultaat onder één wortel kan worden geschreven.

Zagalom niets ingewikkelds. Hiba scho zou meer berekend kunnen worden. Laten we een aantal toepassingen nemen:

van toepassing zijn. Bereken maken:

\[\begin(uitlijnen) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= vijf; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ) ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(uitlijnen)\]

Ik hernieuw het respect van mijn vriend Viraz. We vermenigvuldigen de derdemachtswortel, laten de decimale breuk los en als resultaat nemen we extra getallen 625 en 25 in de banner.

Daarop zagen we eenvoudig de exacte kubus bij het nummer en de banner, en toen haastten we ons langs een van de belangrijkste autoriteiten (of, zoals altijd, aangewezen) van de wortel van de $ n $-de stap:

\[\begin(uitlijnen) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\links| een\recht|. \\ \end(uitlijnen)\]

Vergelijkbare "oplichting" kan u een uur besparen om te slapen of robots te besturen, onthoud dat:

Haast je niet om de getallen in de worteluitdrukking te vermenigvuldigen. Rug aan rug: raptom is er "gecodeerd" de exacte stappen van wat een viraz?

Ondanks de vanzelfsprekendheid van dit respect, is het mogelijk om te erkennen dat de meeste onvoorbereide wetenschappers achterin de exacte stappen niet uitwerken. De stank van de stank vermenigvuldigt alles wat voor ons ligt, en dan vragen we ons af: waarom had je zulke gekke cijfers? :)

Vtіm, alle kinderen van de porіvnіnі z tim, scho mi vivchimo-infectie.

Reproductie van wortels met verschillende indicaties

Nou, goed, nu kunnen we de wortel vermenigvuldigen met dezelfde opschepperij. En wat zijn de showaanbiedingen van raznі? Laten we zeggen, hoe vermenigvuldig je de ultieme $\sqrt(2)$ met een of andere onzin zoals $\sqrt(23)$? Kun je hard werken?

Dus het is duidelijk dat je dat kunt. Iedereen vecht de as voor de qiєyu-formule:

Regel voor wortelvermenigvuldiging. Om $\sqrt[n](a)$ te vermenigvuldigen met $\sqrt[p](b)$, volstaat het voor de vikonati om te transformeren:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

De formule is echter praktischer dan let wel subroots virazi nevid'emni. Belangrijker is respect, want we draaien wat later.

Laten we in de tussentijd een paar toepassingen bekijken:

\[\begin(uitlijnen) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 8) = sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(uitlijnen)\]

Zoals bachiet, niets vouwend. Laten we het nu uitzoeken, de sterren hebben de hulp van onzichtbaarheid genomen, en wat zal zijn, alsof we vernietigbaar zijn.

Het is niet eenvoudig om de wortel te vermenigvuldigen

Waarom lijken de wortels van de virazi onzichtbaar?

Het is duidelijk dat je als een schoollezer kunt worden en met een redelijke blik een vriend citeert:

Bovendien is de niet-negativiteit van de relatie met verschillende aanduidingen van de wortels van de gepaarde en ongepaarde stappen (blijkbaar zijn de gebieden van aanduiding van de stank ook verschillend).

Nou, wat werd er duidelijker? Vooral als ik de afkeuring van de 8e klas las, begreep ik voor mezelf ongeveer het volgende: niet verstandig. :)

Dus ik zal alles op een normale manier uitleggen.

Op de achterkant, zeker, de sterren in een flits, de vermenigvuldigingsformule is genomen, deze is hoger gericht. Voor wie ik een belangrijke kracht van de wortel zal raden:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Met andere woorden, we kunnen rustig de wortel van de wortel verhogen bij elke natuurlijke stap $k$ - waarmee de indicator van de wortel toevallig met dezelfde stap wordt vermenigvuldigd. Otzhe, we kunnen gemakkelijk bekend staan ​​als een wortel van een heiligschennende vertoning, waarna we ons vermenigvuldigen. Zvіdsi ik ​​neem de formule van het meervoud:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Maar er is één probleem, dat scherp tussen de blokkades van deze formules in zit. Laten we eens kijken naar dit nummer:

Blijkbaar kunnen we aan de geïnduceerde formule toevoegen, of het nu de wereld is. Laten we proberen $k=2$ toe te voegen:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

De min werd weggenomen door diezelfde dat het vierkant de min brandt (alsof het een andere jongensstap is). En nu gaan we het omdraaien: we versnellen een dubbel in een show en een stap. Adzhe be-yak gelijkmoedigheid kan worden gelezen als levoruch-rechts, dus rechtshandige levoruch:

\[\begin(uitlijnen) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](een); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2))) = sqrt(5). \\ \end(uitlijnen)\]

En ga dan als een gek naar buiten:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Wat niet kan, is $\sqrt(-5) \lt 0$, maar $\sqrt(5) \gt 0$. Ook voor de paarstappen en negatieve getallen werkt onze formule niet. Waarom hebben we twee opties:

1. Ga tegen de muur staan ​​om te stellen dat wiskunde een stomme wetenschap is, dat er regels zijn, maar het is nog steeds onnauwkeurig;
2. Introduceer extra uitwisselingen, waarvoor de formule 100% werkt.

In de eerste variant kwispelen we constant met "onpraktische" depressies - het is belangrijk, voor een lange tijd en fu. Daarom gaven wiskundigen prioriteit aan een andere optie. :)

Aal maak je geen zorgen! In de praktijk draagt ​​de uitwisseling op geen enkele manier bij aan de berekening, aan het feit dat al deze problemen meer zijn dan de wortels van een ongepaard niveau, en dat er minnen aan te wijten zijn.

Daarom formuleren we nog een regel, alsof we voor alle wortels willen uitbreiden:

Vermenigvuldig eerst de wortels, groei zo dat de wortelwortels van de viraz negatief zijn.

kont. In het midden van $\sqrt(-5)$ kun je minus z-n_d van het wortelteken gebruiken - dan komt alles goed:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Weet jij het verschil? Als je de min onder de wortel verliest, dan krijg je onzin als je de wortel virase kwadraat in het kwadraat van de wortel. En als je een min op de achterkant de schuld geeft, dan kun je het vierkant tot het blauw willen maken / opruimen - het getal wordt negatief.

In deze volgorde, de meest correcte en de minst mogelijke manier om de wortels van aanvallen te vermenigvuldigen:

1. Haal alle minnen van de radicale radicalen weg. De minnen zijn alleen in ongepaarde wortelmultipliciteit - ze kunnen voor de wortel i worden geplaatst als snelheid nodig is (er zijn bijvoorbeeld twee van deze minnen).
2. Vikonati vermenigvuldigde de regels van sgіdno, razglyanym meer tijdens de les van deze dag. Omdat de indicatoren van de wortel hetzelfde zijn, vermenigvuldigen we gewoon de wortel van de virazi. En nog meer anders - zegevierend slechte formule \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n) ) ))\].
3. 3. Geniet van het resultaat en goede cijfers. :)

Nou wat? Zullen we gaan sporten?

Voorbeeld 1. Vergeef Viraz:

\[\begin(uitlijnen) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \sqrt(64)=-4; \end(uitlijnen)\]

De eenvoudigste optie: de indicatoren van de wortel zijn hetzelfde en ongepaard, het probleem is minder in de min van een andere vermenigvuldiger. We geven de schuld aan deze min nafig, als het gemakkelijk is om erin te komen.

Voorbeeld 2. Vergeef Viraz:

\[\begin(uitlijnen) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( uitlijnen)\]

Hier zouden degenen die met een irrationeel getal naar buiten kwamen rijk zijn. Dus, dus buvaє: we konden de wortel niet goed krijgen, maar we namen de suttavo en vroegen het aan de viraz.

Voorbeeld 3. Vergeef Viraz:

\[\begin(uitlijnen) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt((((a)^(3))\cdot ((\left(((( (a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt ( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Axis tse zavdannya hotіv b revnut uw respect. Er zijn hier twee punten:

1. Onder de wortels staat geen specifiek nummer maar stappen, maar een verandering van $a$. Op het eerste gezicht is het op het eerste gezicht niet duidelijk, maar in werkelijkheid is het bij het oplossen van wiskundige taken hoogstwaarschijnlijk dat de moeder zelf aan de rechterkant zal veranderen.
2. We zijn er bijvoorbeeld in geslaagd om de demonstratie van de wortel en stappen van de wortel van de uitdrukking te versnellen. Dergelijke traplyaetsya komen vaak voor. І tse betekent dat het mogelijk is om de berekening neer te werpen, anders wordt het de hoofdformule.

Je zou het bijvoorbeeld zo kunnen doen:

\[\begin(uitlijnen) & \sqrt(a)\cdot \sqrt((((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(uitlijnen)\]

In feite waren deze transformaties meer dan zomaar een radicale verandering. Als u niet alle tussentijdse regels in detail opschrijft, wordt het totaal hierdoor aanzienlijk verminderd.

In feite waren we al bezig met soortgelijke taken, als ze in strijd waren met $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Nu kan yoga op een veel eenvoudigere manier worden geschilderd:

\[\begin(uitlijnen) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =Sqrt(75). \end(uitlijnen)\]

Nou, nou, met meerdere wortels, kwamen ze op. Laten we nu eens kijken naar de omkeringsoperatie: wat voor werk, als je onder de wortels staat?

feit 1.
\(\bullet\) Ervan uitgaande dat ik het nummer \(a\) niet ken (dat is \(a\geqslant 0\)). Todi (rekenkundig) vierkantswortel van het getal \ (a \) heet zo'n onbekend getal \ (b \), bij het kwadrateren nemen we het getal \ (a \): \[\sqrt a=b\quad \text(hetzelfde als )\quad a=b^2\] Wauw \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Qi obmezhennya є belangrijke bewuste basis van de vierkantswortel en de volgende herinnering!
Raad eens wat, of het nu een getal in het kwadraat is, een onbepaald resultaat geeft. Dus \(100^2=10000\geqslant 0\) en \((-100)^2=10000\geqslant 0\).
\(\bullet\) Waarom \(\sqrt(25)\)? We weten dat \(5^2=25\) en \((-5)^2=25\) . Aangezien we een niet-negatief getal kunnen kennen, past \(-5\) niet, dan \(\sqrt(25)=5\) (vonken \(25=5^2\) ).
De waarde van \(\sqrt a\) wordt de variatie van de vierkantswortel van het getal \(a\) genoemd, en het getal \(a\) wordt de onderwortel van het getal \(a\) genoemd.
\(\bullet\) Vihodyachi z vzachennya, virazu \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) і enz. geen zin.

feit 2.
Voor snelle berekeningen is het geschikt om de tabel met kwadraten van natuurlijke getallen te berekenen van \(1\) tot \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\hline\end(array)\]

feit 3.
Hoe kun je winnen met vierkantswortels?
\(\kogel\) De som van de som van de vierkantswortel is NIET gelijk aan de vierkantswortel van de som van de som van de vierkantswortel, tobto \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Als u op deze manier bijvoorbeeld \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) moet berekenen, dan is het uw verantwoordelijkheid om de waarde van \(\sqrt(25)\) en \ te kennen (\sqrt(49)\ ), en vouw ze vervolgens op. Otsje, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Hoewel de betekenis van \(\sqrt a\) of \(\sqrt b\) bij het toevoegen van \(\sqrt a+\sqrt b\) niet bekend is, is zo'n viraz verre van transformeren en zo worden, zoals є. Voor de som \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kunnen we bijvoorbeeld \(\sqrt(49)\) - ce \(7\) weten, maar van \(\sqrt 2\) is het onmogelijk om te zetten, dat \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Dali tsey fluitje, sorry, je kunt niet vergeven\(\bullet\) Twіr/private vierkantswortel is gelijk aan vierkantswortel w/private, tobto \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(i)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (voor de geest die aanstootgevende delen van gelijkwaardigheid kan voelen)
kont: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Koristuyuchis tsimi dominant, ken terloops de vierkantswortel van de grote getallen om ze in vermenigvuldigers te rangschikken.
Laten we naar een voorbeeld kijken. We kennen \(\sqrt(44100)\). Oskіlki \(44100:100=441\), dan \(44100=100\cdot 441\). Voor het deelbaarheidsteken wordt het getal \(441\) gedeeld door \(9\) (de som van de cijfers is 9 en gedeeld door 9), ook \(441:9=49\) , dan \(441 =9\) cdot 49).
In deze rang hebben we weggenomen: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Laten we een ander voorbeeld bekijken: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) In het voorbeeld \(5\sqrt2\) (de afkortingen zijn geschreven in de vorm \(5\cdot \sqrt2\)) wordt getoond hoe de getallen met het vierkantswortelteken moeten worden ingevoerd. Bereik \(5=\sqrt(25)\) , dan \ Met respect, bijvoorbeeld scho,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Waarom? Laten we uitleggen vanaf de kolf 1). Zoals je al hebt begrepen, is het voor ons onmogelijk om het getal (sqrt2) te transformeren. Uiteraard is \(\sqrt2\) hetzelfde nummer \(a\). Vidpovidno, viraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) є niets anders, zoals \(a+3a\) (één getal \(a\) plus nog drie van dezelfde getallen \(a\) ). En we weten wat goed is voor zulke getallen \(a\), dus \(4\sqrt2\).

feit 4.
\(\bullet\) Het lijkt vaak "kan de wortel niet vinden" als je niet probeert het teken \(\sqrt() \ \) van de wortel (radicaal) te krijgen met de waarde van dat getal. U kunt bijvoorbeeld de root uit het magazijn halen \(16\) omdat \(16=4^2\) , omdat \(\sqrt(16)=4\) . En de as om de wortel van het getal \(3\) te tekenen, zodat je \(\sqrt3\ weet), is onmogelijk, omdat zo'n getal niet bestaat, dus geef \(3\) in een vierkant.
Zulke getallen (anders met zulke getallen) zijn irrationeel. Bijvoorbeeld cijfers \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) enzovoort. irrationeel.
Ook irrationele є getallen \(\pi\) (getal "pi", ongeveer gelijk aan \(3,14\) ), \(e\) (dit getal wordt het Eulergetal genoemd, ongeveer gelijk aan \(2,7\) ) en enz.
\(\bullet\) We respecteren hen, of het getal nu rationeel of irrationeel is. En tegelijkertijd vestigen alle rationele en alle irrationele getallen het onpersoonlijke, dat wordt genoemd bezlіchchyu deysnyh (spraak) nummers. Het wordt aangegeven met de onpersoonlijke letter \(\mathbb(R)\).
Voortaan worden alle nummers, zoals we weten, spraaknummers genoemd.

Feit 5.
\(\bullet\) Modulus van een spraakgetal \(a\) is een getal \(|a|\) , dat loopt van het punt \(a\) naar \(0\) op de spraakregel. Bijvoorbeeld, \(|3|\) en \(|-3|\) is gelijk aan 3, zodat tussen de punten \(3\) і \(-3\) tot \(0\) echter gelijk en gelijk \( 3 \).
\(\bullet\) Als \(a\) geen getal is, dan is \(|a|=a\) .
Voorraad: \(|5|=5\); \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Als \(a\) een getal is, dan is \(|a|=-a\) .
Voorraad: \(|-5|=-(-5)=5\); \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Het lijkt erop dat voor negatieve getallen de module een min heeft, en voor positieve getallen, evenals het getal \(0\), de module ongewijzigd blijft.
ALE zo'n regel is minder geschikt voor getallen. Als je \(x\) niet weet onder het teken van de module (omdat het niet anders bekend is), bijvoorbeeld \(|x|\) , weten we niet over yak, of het positief is, het is nul , of het is negatief, dan hoeven we niet naar de module te kijken die we kunnen. І hier is cei vislіv zo i overloopt: \(|x|\) . \(\bullet\) Heeft mogelijk dezelfde formule: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( let wel ) a\geqslant 0\] Nog vaker is zo'n pardon toegestaan: het lijkt erop dat \(\sqrt(a^2)\) en \((\sqrt a)^2\) één en hetzelfde zijn. Tse verno is dan kleiner, als \(a\) een positief getal of nul is. En van yakscho \ (a \) - een negatief getal, dan niet zo. Dosit kijken naar zo'n kont. Laten we \(a\) nummer \(-1\) vervangen. Dan is \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , en de as viraz \((\sqrt (-1))^2\) niet noodzakelijk wortelplaats negatieve getallen! ).
Daarom betuig ik uw respect aan degenen die \(\sqrt(a^2)\) niet gezond zijn \((\sqrt a)^2\)! Voorraad: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), omdat \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Schalen \(\sqrt(a^2)=|a|\) , dan \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (viraz \(2n\) geeft de man een nummer)
Dus wanneer de wortel wordt getrokken uit het getal, dat bekend is in de zangwereld, verandert zijn voet in twee.
kont:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) 'yataєmo, dat met het oog op de wortel van zo'n buti niet kan zijn: bij ons, wanneer de wortel is vergeten, het kan positief uitkomen, of een nul)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\)

Feit 6.
Hoe twee vierkantswortels gelijk te maken?
\(\kogel\)<\sqrt b\) , то \(akont:
1) \(\sqrt(50)\) en \(6\sqrt2\) . Laten we voor de kolf nog een viraz y opnieuw maken \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). In deze rang, oskіlki \ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Hoeveel gehele getallen heeft \(\sqrt(50)\)?
Skіlki \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) en \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Koppel \(\sqrt 2-1\) en \(0.5\). Stel dat \(\sqrt2-1>0.5\): \[\begin(uitgelijnd) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((dodamo één naar beide delen))\\&\sqrt2>0,5+1 \ big| \ ^2 \quad\text((sterren lijnen vierkanten uit))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Bachimo, we hebben de verkeerde oneffenheden. Otzhe, onze bekentenis was nevirnim en \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Met respect, het toevoegen van het deaky-nummer aan beide delen van de nervositeit voegt niet het eerste teken toe. Vermenigvuldigen/verdelen van beide delen van de ongelijkheid op het positieve getal telt ook niet op bij het eerste teken, maar vermenigvuldigen/spreiden op het negatieve getal verandert het teken van de ongelijkheid in het verlengde!
Het is mogelijk om beledigingen voor delen van jaloezie / nervositeit in een vierkante TILKI TODI te brengen, als beledigingen geen deel uitmaken van nevid'emni. In de oneffenheden van de voorste kont kun je bijvoorbeeld aanstoot nemen in de delen van het vierkant, in de oneffenheden \ (-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Volgende herinnering, wat? \[\begin(uitgelijnd) &\sqrt 2\circa 1,4\\ &\sqrt 3\circa 1,7 \end(uitgelijnd)\] Als u de geschatte waarde van deze getallen kent, kunt u de getallen matchen! \(\bullet\) Om de wortel te winnen (zoals deze wint) van zo'n groot aantal, dat niet in de tabel met vierkanten staat, is het noodzakelijk om op de achterkant te tellen, tussen zulke "honderden" kan men bekend, dan - tussen dergelijke "tientallen", en selecteer vervolgens het resterende cijfer van dat nummer. Er wordt getoond hoe het werkt op de kolf.
Neem \(\sqrt(28224)\). We weten dat \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) enzovoort. Merk op dat \(28224\) wordt gevonden tussen \(10\,000\) en \(40\,000\) . Ook wordt \(\sqrt(28224)\) gevonden tussen \(100\) en \(200\) .
Nu is het veelzeggend dat ons aantal tussen zulke "tientallen" ligt (dat wil zeggen, bijvoorbeeld tussen (120) en (130)). Uit de vierkante tabellen is ook bekend dat \(11^2=121\) , \(12^2=144\) enzovoort, then\(110^2=12100\) , \(120^2=14400 ) \) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2= 28900 \). In deze volgorde denken we dat \(28224\) wordt gevonden tussen \(160^2\) en \(170^2\) . Ook ligt het getal \(\sqrt(28224)\) tussen \(160\) en \(170\).
Probeer het resterende aantal te achterhalen. Laten we raden, wat zijn enkelcijferige getallen als ze gekwadrateerd zijn om op het einde \ (4 \) te geven? Gebruik \(2^2\) en \(8^2\). Later zal \(\sqrt(28224)\) eindigen op 2 of op 8. Laten we het omdraaien. We kennen \(162^2\) en \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Ook \(\sqrt(28224) = 168\). Sluier!

Om EDI z-wiskunde onder de knie te krijgen, moeten we theoretisch materiaal leren, dat bekend is uit numerieke stellingen, formules en algoritmen. Op het eerste gezicht zie je wat makkelijk af te werken is. Om echter de dzherelo te kennen, waarin de theorie voor EDI's van wiskunde gemakkelijk en wijs werd ontwikkeld voor studenten met elk opleidingsniveau, is het moeilijker om het af te maken. Shkіlnі podruchniki onmogelijk zavzhd trimati onder de hand. En om de basisformules voor EDI in de wiskunde te kennen, is niet gemakkelijk te leren van internet.

Waarom is het zo belangrijk om de theorie van wiskunde te onderwijzen, niet alleen voor degenen die ED bouwen?

1. Omdat ik mijn horizon verbreed. De introductie van theoretisch materiaal uit de wiskunde is iedereen dierbaar, die rekening wil houden met het brede scala aan voedsel dat de wereld van de kennis kent. Alles in de natuur is in orde en kan logica lezen. Hetzelfde zie je in de wetenschap, door de yak kun je de wereld begrijpen.
2. Omdat het intellect ontwikkelt. Vivchayuchi dovіdkovі materialen voor ЄДІz wiskunde, evenals viruyuyuchi raznomanіtnі zavdannya, mensen leren logisch te denken en rozmіrkovuvati, competent en duidelijk ideeën te formuleren. De nieuwe heeft de mogelijkheid om te analyseren, zagalnyuvati, robiti visnovki.

We moedigen u aan om vooral alle voordelen van onze benadering van de systematisering en presentatie van de oorspronkelijke materialen te evalueren.

Stap formules vikoristovuyut in het proces van snelheid en vergeving van het vouwen van virussen, in de virishennі rіvnіan en prikkelbaarheid.

Nummer Cє N-de stap van het getal een als:

Operaties in stappen.

1. Door de stappen met dezelfde basis te vermenigvuldigen, worden hun indicatoren opgeteld:

beneen n = een m + n.

2. Op de rozpodіlі stаіnіv z dezelfde basis is pokanika vіdnіmayutsya:

3. Oefenstappen van het 2e chi grotere aantal vermenigvuldigers in meer geavanceerde stappen van deze sp_vermenigvuldigers:

(abc…) n = een n b n c n …

4. De stappen van de breuk zijn verder gevorderd in de introductie van de stappen van een gegeven:

(a/b) n = n/b n .

5. De sterren van de treden aan de voeten, de indicatoren van de treden worden vermenigvuldigd:

(am) n = een m n .

De huid wordt weergegeven formule virna u rechtdoor zliva naar rechts en navpak.

Bijvoorbeeld. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaties met wortels.

1. De wortel van de oprichting van veel spivmulniki in dobrivnyu dobutku wortel van deze spivmulniki:

2. Wortel van de wortel van de wortel van de wortel:

3. Wanneer de wortel wordt toegevoegd aan de rіven, voeg dan de zvedi toe aan de hele rіven het wortelnummer:

4. Hoe de wortelstappen te vergroten in N zodra ik op hetzelfde uur bel in N-de stap van het wortelgetal, dan verandert de waarde van de wortel niet:

5. Hoe de root-stappen te veranderen in N trek tegelijkertijd de wortels omhoog N-de stap vanaf het wortelnummer, dan verandert de waarde van de wortel niet:

Stap uit een negatieve indicator. De stap van hetzelfde getal met een niet-positieve (qіlim) indicator wordt toegewezen als één, gedeeld door de stap van hetzelfde nummer met de indicator, wat gelijk is aan de absolute waarde van de niet-positieve indicator:

Formule ben:een n = een m - n je kunt niet alleen winnen voor m> N, ale ik at m< N.

Bijvoorbeeld. een4: een 7 = een 4 - 7 = een -3.

Schob-formule ben:een n = een m - n eerlijk geworden m=n, is de aanwezigheid van de nulstap vereist.

Stap uit de nul-indicator. Een stap, of het nu een getal is, dat niet gelijk is aan nul, met een nul-indicator van een goede.

Bijvoorbeeld. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stap uit de shotgun-display. Schob om een ​​dagnummer te bellen maar aan de voeten m/n het is noodzakelijk om de wortel te winnen N oh wereld zo m de stap van het nummer maar.